Le problème des objets dans la pensée mathématique

Quoi de plus simple que l'idée d'objets dont le mathématicien se proposerait de connaître les propriétés? Cet ouvrage montre qu'au contraire, loin d'aller de soi, cette notion est problématique. Une première démarche critique consiste à ressaisir ces «objets» comme corrélatifs des actes d'une pensée opératoire, puis à montrer en quoi consistent leur historicité, leur abstraction et leur universalité: il en résulte qu'ils n'ont d'autre existence qu'intra-théorique. L'examen du langage propre aux mathématiques, fixé dans la forme symbolique, dont ils ne peuvent se rendre indépendants, permet ensuite d'identifier le champ transcendantal dans lequel s'opère leur connaissance. Dès lors l'objet peut être caractérisé comme unité synthétique d'un système de relations, plus primitives que lui. On le vérifie à propos des notions de base: ensembles, nombres, espaces. Le cas des figures exige une analyse spécifique, la géométrie ayant souvent été regardée comme le berceau des mathématiques. Mais l'intuition spatiale doit être dépossédée de son privilège ontologique illusoire. La thèse proposée permet d'écarter les apories classiques en ce domaine; quant à la racine de l'illusion, c'est une question qui lui est extérieure et relève d'un autre champ.